www.ugle.dk Jørgen Ebert, je@ugle.dk
Hjemmeside   Sange   Matematik   Privat   Links  

Boolesk algebra - Digitalalgebra og talsystemer

Boolesk AlgebraOnline-matematikbog (se nederst på siden hvordan du kan hente bogen)
Her er en online-matematikbog som kan læses af enhver med interesse for matematik. Bogen er specielt velegnet for de gymnasiale ungdomsuddannelser.

Den booleske algebra er opkaldt efter den britiske matematiker og logiker George Boole som levede fra 1815 til 1864. I 1849 blev han som selvlært matematiker udnævnt til professor i matematik ved Queen's College, Cork, Ireland - det nuværende University College. I 1854 udgav han skriftet An Investigation of the Laws of Thought hvori han beskrev et algebraisk system som senere blev kendt som den booleske algebra. Der er tale om en generel matematisk teori som dækker over blandt andet logikalgebra, mængdealgebra og digitalalgebra.

1. Logikalgebra

I den matematiske logik arbejder man med matematiske udsagn som kobles sammen ved hjælp af tre logiske operatorer: eller, og, ikke. For eksempel er 2x + y = 9 et matematisk udsagn om to reelle tal x og y. Dette udsagn er sandt for uendelig mange værdier af x og y, for eksempel for (x, y) = (4, 1) og for (x, y) = (3, 3). Hvis udsagnet 2x + y = 9 kobles sammen med udsagnet x - y = 3 ved hjælp af operatoren og, fremkommer et nyt udsagn som kun er sandt for én værdi af x og y, nemlig (x, y) = (4, 1). Logikalgebraen er den matematiske disciplin som beskæftiger sig med regnereglerne for de tre logiske operatorer og med at reducere komplicerede kombinationer af udsagn til mere overskuelige konstellationer.

2. Mængdealgebra

I mængdelæren arbejder man med mængder som kombineres til nye mængder ved hjælp af mængdeoperatorerne foreningsmængde, fællesmængde og komplementærmængde. Man undersøger hvilke regneregler de tre mængdeoperatorer er underkastet. Som et simpelt eksempel kan nævnes at komplementærmængden til en fællesmængde af to mængder er det samme som foreningsmængden af de to mængders komplementærmængder.

3. Generel boolesk algebra

Logikken og mængdelæren har meget til fælles. Begge består af en mængde af objekter samt tre operatorer. Et nærmere studium viser at de to matematiske strukturer faktisk er underkastet helt de samme love og betingelser - de to teorier er i en vis forstand ens. Det bør man naturligvis udnytte, og det gør man ved at konstruere en overordnet struktur, den booleske algebra, som en slags paraply-struktur der dækker over både logikken og mængdelæren. Der er store fordele ved at generalisere en samling af specielle matematiske strukturer. Dels får man lettere øje på skjulte fælles egenskaber, og dels kan man finde nye specielle matematiske strukturer som også er dækket af den generelle teori. Desuden er det meget mere økonomisk at arbejde generelt. Hvis man beviser en sætning i den generelle teori, har man jo samtidigt bevist den tilsvarende sætning i alle de underliggende specielle teorier.

4. Digitalalgebra

Digitalalgebraen er et eksempel på endnu en speciel matematisk struktur som er dækket ind under den generelle booleske algebra. Den indeholder kun to objekter, 0 og 1, som kombineres med operatorerne or, and, not. Digitalalgebraen har fået enorm betydning for udviklingen af digitale elektroniske styresystemer, computere, regnemaskiner, måleapparatur, tyverialarmer og så videre. De krav man vil stille til et ønsket digitalt kredsløb, opstilles først som matematiske ligninger. Derefter reduceres ligningerne, og så har man nogle booleske udsagn som kan oversættes til et diagram for det ønskede digitale kredsløb. Herefter mangler man kun at tænde for loddekolben og lodde de elektroniske chips sammen.

Hent bogen
Hvis du vil vide mere om boolesk algebra, kan du kigge i min bog, Boolesk algebra.. Bogen som er fra 1985, er skrevet med henblik på anvendelse i gymnasiet. Jeg har desværre ikke manuskriptet på digital form, og jeg har heller ikke tid til at genskrive det. Men du kan hente en affotografering af bogen. Vær tålmodig - filen er stor: Boolesk algebra (PDF-fil 24 MB)

Betingelser
Bogen kan frit benyttes af alle der interesserer sig for matematik. De eneste betingelser er:

  1. Matematikinteresserede må udskrive bogen til eget brug.
  2. Matematiklærere må udskrive bogen i et klassesæt til brug ved egen undervisning.
  3. Bogen må derudover ikke under nogen form udgives, hverken på internettet eller via andre medier.
  4. Webmastere er velkomne til at linke til nærværende side, men undgå venligst at linke direkte til bogen.
  5. Ophavsretten til bogen tilhører mig.

Jørgen Ebert, je@ugle.dk