www.ugle.dk Jørgen Ebert, je@ugle.dk
Hjemmeside   Sange   Matematik   Privat   Links  

Matematikopgaver

Der er lette og svære opgaver mellem hinanden. Hvis du vil have hjælp, eller hvis jeg skal kontrollere din løsning, kan du sende email til mig, men du får mig ikke til at sende en facitliste. God fornøjelse!

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32


Opgave 1

En snor med en længde på 1 meter tænkes delt i to stykker, af hvilke der dannes henholdsvis et kvadrat og en cirkel. Hvor langt et stykke af snoren skal man bruge til kvadratet, hvis det samlede areal af kvadratet og cirklen skal være mindst muligt?


Opgave 2

En bil skal køre en vis strækning. Den første halvdel af vejen kører den 30 km/t. Hvor hurtigt skal den køre resten af vejen for at opnå en gennemsnitsfart på 60 km/t?


Opgave 3

Betragt brøkerne 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, ... og så videre. Hvis en af brøkerne hedder a/b, så hedder den næste (a+2b)/(a+b). Når denne række af brøker fortsættes i det uendelige, vil de efterhånden nærme sig et ganske bestemt tal.

  1. Hvad er det for et tal, brøkerne nærmer sig?
  2. Kan du bevise det?
  3. Hvad sker der, hvis man vælger en anden brøk end 1/1 som den første?

Opgave 4

I en kasse befinder sig tre hvide kugler og to sorte. Vi tager en tilfældig kugle op af kassen og lægger den - uden at kigge på den - ned i en skuffe. Dernæst trækker vi igen en tilfældig kugle op af kassen. Den kigger vi på, og det viser sig, at den er hvid. Hvad er sandsynligheden for at kuglen i skuffen er hvid?


Opgave 5

En flaske med prop koster 10,50 kr., og en flaske koster 10 kr. mere end en prop. Hvad koster en prop?


Opgave 6

Et kræmmerhus foldes af et cirkeludsnit som vist på nedenstående figur.

Figur

Beregn den værdi af udsnitsvinklen v, for hvilken kræmmerhusets rumfang er maksimalt. Find også den tilsvarende værdi af kræmmerhusets topvinkel w.


Opgave 7

Et glas indeholder 10 skefulde vin, og et andet glas indeholder 10 skefulde vand. Man hælder en skefuld vin fra det første glas over i det andet glas og rører rundt. Derefter hældes en skefuld af blandingen tilbage i glasset med vin. Er der nu mere vand i vinen, end der er vin i vandet?


Opgave 8

På et skakbræt fjernes to diagonalt modsatte hjørner, således at der kun er 62 felter tilbage. Bevis, at de resterende 62 felter umuligt kan overdækkes med 31 dominobrikker.


Opgave 9

På figuren er tegnet 3 kvadrater samt diagonaler som vist.

Figur

Bevis uden brug af lommeregner, at vinklen w er lig med summen af vinklerne u og v.


Opgave 10

Tallet q i nedenstående formel har en forbløffende lighed med tallet pi.

Formel for q

Med hvor mange procent adskiller q sig fra pi?.


Opgave 11

To cirkler er placeret således, at den ene har centrum på periferien af den anden. Find forholdet mellem de to cirklers radier når det oplyses, at det gule areal er lige så stort som det grønne, se figuren nedenfor.

Figur

Opgaven kan ikke løses eksakt. Derfor vil det være tilstrækkeligt at finde forholdet med 6 decimalers nøjagtighed.


Opgave 12

Fire kvarte cirkelskiver med radius 1 er stuvet ind i et kvadrat med sidelængden 1. Cirkelskivernes centre falder sammen med kvadratets hjørner som vist på tegningen:

Figur

Udled et eksakt udtryk for arealet af de fire kvarte cirkelskivers fællesmængde.


Opgave 13

I en kvart cirkel benyttes de to rette sider som diametre for to halvcirkler som vist på figuren:

Figur

Derved opstår fire nye områder i den oprindelige kvarte cirkel. Bevis, at områderne a og b har samme areal.


Opgave 14

Lad n være et vilkårligt helt tal. Bevis, at 6 går op i n3 - n.


Opgave 15

En ottekant er indskrevet i en cirkel og har fire på hinanden følgende sider af længde 3, mens de resterende fire sider har længde 2. Beregn den eksakte værdi af ottekantens areal.


Opgave 16

Lad n være et vilkårligt helt tal. Bevis, at n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 er et kvadrattal.


Opgave 17

På en stor kvadratisk mark med sidelængden x kilometer ligger en bondegård. Afstanden fra gården til tre af markens hjørner er henholdsvis 7, 3 og 5 kilometer som vist på nedenstående tegning. Beregn markens sidelængde, x.

Figur

Denne opgave er leveret af Martin Andersen 2y, 1996/97, Amtsgymnasiet i Sønderborg.


Opgave 18

Bemærk, at

12 = 1
12 + 22 = 5
12 + 22 + 32 = 14
12 + 22 + 32 + 42 = 30
12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55

Bevis, at følgende formel er gyldig for alle positive, hele tal n:

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6


Opgave 19

Lad x være et helt tal, og antag, at x er både et kvadrattal og et kubisk tal. Det vil sige, at x er lig med et helt tal i anden potens og også lig med et helt tal i tredie potens. Bevis, at x må være lig med 7n eller 7n+1 for et passende helt tal n.


Opgave 20

To almindelige viser-ure går begge forkert. Det ene taber 1,5 sekund i timen, mens det andet vinder 1 sekund i timen. Hvis de de to ure viser samme klokkeslet nu, hvor lang tid vil der så gå, inden de igen viser det samme?


Opgave 21

I en regulær sekssidet pyramide er hver af de seks kanter i grundfladen 8 cm, og hver af de seks øvrige kanter er 11 cm.

Figur

Beregn den eksakte værdi af radius i den kugle, som går gennem alle pyramidens syv hjørner.


Opgave 22

Lad n være et vilkårligt primtal større end 3. Bevis, at 6 går op i et af de to nabotal til n.


Opgave 23

I en cirkel med radius 4R tegnes en diameter. Derefter tegnes seks halvcirkler med radier 1R, 2R og 3R. Alle seks halvcirkler har centrum på den valgte diameter. Tre af halvcirklerne ligger over diagonalen og rører denne i venstre endepunkt. De andre tre halvcirkler ligger under diagonalen og rører denne i højre endepunkt. Se figuren til venstre.

Derefter fjernes diameteren, således at der opstår fire områder inde i den store cirkel. Se figuren til højre.

Figur

Bevis, at de fire områder har samme omkreds og samme areal.


Opgave 24

  1. Hvor mange tal mellem 1 og 100 indeholder cifferet 3?
  2. Hvor mange tal mellem 1 og 1000 indeholder cifferet 3?
  3. Lad n være et vilkårligt positivt, helt tal. Find en formel for antallet af tal mellem 1 og 10n, som indeholder cifferet 3.

Opgave 25

Denne opgave er leveret af Svend Pedersen, Grønland.

Ved en væg stilles en kasse på 1 x 1 m, og op ad væggen stilles en stige på nøjagtig 10 m, så den netop rører kassen. Størrelsesforholdene på figuren er ikke korrekte:

Figur

Hvor højt op ad væggen når stigen?


Opgave 26

Denne opgave er leveret af Steen Thunberg, Qeqertarsuaq, Grønland.

Ude bag mit hus har jeg en nedgravet olietank. Jeg har ladet mig fortælle at den har form som en liggende cylinder. En dag umiddelbart inden jeg får olie påfyldt checker jeg oliestanden ved at stikke en lang træpind lodret ned i tanken. På pinden kan jeg se at oliestanden er 47 cm og at tanken er 126 cm dyb. Efter påfyldningen af 1000 liter olie er oliestanden vokset med 37 cm.

Hvor lang er tanken?


Opgave 27

Denne og den følgende opgave er leveret af Svend Lundberg.

Når klokken er tolv dækker de to visere hinanden. Hvad er klokken når de dækker hinanden næste gang?


Opgave 28

En snor rundt om jorden har en vis længde. Hvis man nu lægger en snor rundt om jorden i 1 m højde, hvor meget længere er så denne snor?


Opgave 29

Om fire reelle tal a, b, c og d gælder:

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = ab + bc + cd + da

Bevis at a = b = c = d.


Opgave 30

Denne opgave er leveret af Jens Baun.

Figur

Et betonrør med cirkulært tværsnit er delvist nedgravet. Den del af røret der er over jorden, har en bredde på 121 cm og en højde på 43 cm. Hvad er rørets diameter?


Opgave 31

Denne opgave er venligst stillet til rådighed af JB. Sørensen.

Beregn arealet af det skraverede område på nedenstående figur idet de små og de store radier er henholdsvis 20 og 30.

Figur


Opgave 32

På en stang med længden 1 meter kravler et antal myrer. Stangen er så smal at myrerne ikke kan passere hinanden. Hvis to myrer møder hinanden, vender de om og fortsætter i modsat retning, og hvis en myre når en af stangens ender, falder den ned. Myrerne kravler med en konstant fart på 1 cm/sekund, og en myre vender kun om når den møder en anden myre. Hvor lang tid skal der mindst gå inden man kan være sikker på at alle myrerne er faldet ned?


Jørgen Ebert, je@ugle.dk