Hjemmeside Sange Matematik Privat Links Om ugle.dk
|
Jørgen Ebert Hjemmeside Sange Matematik Privat Links Om ugle.dk |
Der er lette og svære opgaver mellem hinanden. God fornøjelse!
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32
En snor med en længde på 1 meter tænkes delt i to stykker, af hvilke der dannes henholdsvis et kvadrat og en cirkel. Hvor langt et stykke af snoren skal man bruge til kvadratet, hvis det samlede areal af kvadratet og cirklen skal være mindst muligt?
En bil skal køre en vis strækning. Den første halvdel af vejen kører den 30 km/t. Hvor hurtigt skal den køre resten af vejen for at opnå en gennemsnitsfart på 60 km/t?
Betragt brøkerne 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, ... og så videre. Hvis en af brøkerne hedder a/b, så hedder den næste (a+2b)/(a+b). Når denne række af brøker fortsættes i det uendelige, vil de efterhånden nærme sig et ganske bestemt tal.
I en kasse befinder sig tre hvide kugler og to sorte. Vi tager en tilfældig kugle op af kassen og lægger den - uden at kigge på den - ned i en skuffe. Dernæst trækker vi igen en tilfældig kugle op af kassen. Den kigger vi på, og det viser sig, at den er hvid. Hvad er sandsynligheden for at kuglen i skuffen er hvid?
En flaske med prop koster 10,50 kr., og en flaske koster 10 kr. mere end en prop. Hvad koster en prop?
Et kræmmerhus foldes af et cirkeludsnit som vist på nedenstående figur.
Beregn den værdi af udsnitsvinklen v, for hvilken kræmmerhusets rumfang er maksimalt. Find også den tilsvarende værdi af kræmmerhusets topvinkel w.
Et glas indeholder 10 skefulde vin, og et andet glas indeholder 10 skefulde vand. Man hælder en skefuld vin fra det første glas over i det andet glas og rører rundt. Derefter hældes en skefuld af blandingen tilbage i glasset med vin. Er der nu mere vand i vinen, end der er vin i vandet?
På et skakbræt fjernes to diagonalt modsatte hjørner, således at der kun er 62 felter tilbage. Bevis, at de resterende 62 felter umuligt kan overdækkes med 31 dominobrikker.
På figuren er tegnet 3 kvadrater samt diagonaler som vist.
Bevis uden brug af lommeregner, at vinklen w er lig med summen af vinklerne u og v.
Tallet q i nedenstående formel har en forbløffende lighed med tallet pi.
Med hvor mange procent adskiller q sig fra pi?.
To cirkler er placeret således, at den ene har centrum på periferien af den anden. Find forholdet mellem de to cirklers radier når det oplyses, at det gule areal er lige så stort som det grønne, se figuren nedenfor.
Opgaven kan ikke løses eksakt. Derfor vil det være tilstrækkeligt at finde forholdet med 6 decimalers nøjagtighed.
Fire kvarte cirkelskiver med radius 1 er stuvet ind i et kvadrat med sidelængden 1. Cirkelskivernes centre falder sammen med kvadratets hjørner som vist på tegningen:
Udled et eksakt udtryk for arealet af de fire kvarte cirkelskivers fællesmængde.
I en kvart cirkel benyttes de to rette sider som diametre for to halvcirkler som vist på figuren:
Derved opstår fire nye områder i den oprindelige kvarte cirkel. Bevis, at områderne a og b har samme areal.
Lad n være et vilkårligt helt tal. Bevis, at 6 går op i n3 - n.
En ottekant er indskrevet i en cirkel og har fire på hinanden følgende sider af længde 3, mens de resterende fire sider har længde 2. Beregn den eksakte værdi af ottekantens areal.
Lad n være et vilkårligt helt tal. Bevis, at n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 er et kvadrattal.
På en stor kvadratisk mark med sidelængden x kilometer ligger en bondegård. Afstanden fra gården til tre af markens hjørner er henholdsvis 7, 3 og 5 kilometer som vist på nedenstående tegning. Beregn markens sidelængde, x.
Denne opgave er leveret af Martin Andersen 2y, 1996/97, Amtsgymnasiet i Sønderborg.
Bemærk, at
12 = 1
12 + 22 = 5
12 + 22 + 32 = 14
12 + 22 + 32 + 42 = 30
12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55
Bevis, at følgende formel er gyldig for alle positive, hele tal n:
Lad x være et helt tal, og antag, at x er både et kvadrattal og et kubisk tal. Det vil sige, at x er lig med et helt tal i anden potens og også lig med et helt tal i tredie potens. Bevis, at x må være lig med 7n eller 7n+1 for et passende helt tal n.
To almindelige viser-ure går begge forkert. Det ene taber 1,5 sekund i timen, mens det andet vinder 1 sekund i timen. Hvis de de to ure viser samme klokkeslet nu, hvor lang tid vil der så gå, inden de igen viser det samme?
I en regulær sekssidet pyramide er hver af de seks kanter i grundfladen 8 cm, og hver af de seks øvrige kanter er 11 cm.
Beregn den eksakte værdi af radius i den kugle, som går gennem alle pyramidens syv hjørner.
Lad n være et vilkårligt primtal større end 3. Bevis, at 6 går op i et af de to nabotal til n.
I en cirkel med radius 4R tegnes en diameter. Derefter tegnes seks halvcirkler med radier 1R, 2R og 3R. Alle seks halvcirkler har centrum på den valgte diameter. Tre af halvcirklerne ligger over diagonalen og rører denne i venstre endepunkt. De andre tre halvcirkler ligger under diagonalen og rører denne i højre endepunkt. Se figuren til venstre.
Derefter fjernes diameteren, således at der opstår fire områder inde i den store cirkel. Se figuren til højre.
Bevis, at de fire områder har samme omkreds og samme areal.
Denne opgave er leveret af Svend Pedersen, Grønland.
Ved en væg stilles en kasse på 1 x 1 m, og op ad væggen stilles en stige på nøjagtig 10 m, så den netop rører kassen. Størrelsesforholdene på figuren er ikke korrekte:
Hvor højt op ad væggen når stigen?
Denne opgave er leveret af Steen Thunberg, Qeqertarsuaq, Grønland.
Ude bag mit hus har jeg en nedgravet olietank. Jeg har ladet mig fortælle at den har form som en liggende cylinder. En dag umiddelbart inden jeg får olie påfyldt checker jeg oliestanden ved at stikke en lang træpind lodret ned i tanken. På pinden kan jeg se at oliestanden er 47 cm og at tanken er 126 cm dyb. Efter påfyldningen af 1000 liter olie er oliestanden vokset med 37 cm.
Hvor lang er tanken?
Denne og den følgende opgave er leveret af Svend Lundberg.
Når klokken er tolv dækker de to visere hinanden. Hvad er klokken når de dækker hinanden næste gang?
En snor rundt om jorden har en vis længde. Hvis man nu lægger en snor rundt om jorden i 1 m højde, hvor meget længere er så denne snor?
Om fire reelle tal a, b, c og d gælder:
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = ab + bc + cd + da
Bevis at a = b = c = d.
Denne opgave er leveret af Jens Baun.
Et betonrør med cirkulært tværsnit er delvist nedgravet. Den del af røret der er over jorden, har en bredde på 121 cm og en højde på 43 cm. Hvad er rørets diameter?
Denne opgave er venligst stillet til rådighed af JB. Sørensen.
Beregn arealet af det skraverede område på nedenstående figur idet de små og de store radier er henholdsvis 20 og 30.
På en stang med længden 1 meter kravler et antal myrer. Stangen er så smal at myrerne ikke kan passere hinanden. Hvis to myrer møder hinanden, vender de om og fortsætter i modsat retning, og hvis en myre når en af stangens ender, falder den ned. Myrerne kravler med en konstant fart på 1 cm/sekund, og en myre vender kun om når den møder en anden myre. Hvor lang tid skal der mindst gå inden man kan være sikker på at alle myrerne er faldet ned?
| Jørgen Ebert |
